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1, 开篇

学习过经典物理的人都知道:根据质点的粒子性,在经典力学中通常用质点的位置和动量(或速度)来描写一个宏观质点的状态。当然,上世纪处的物理学革命,建立了量子力学,极大地提高了人们的认识层次。至少在人类现在的认识层次,大家普遍地接受:物理世界的宏观性质由其微观世界的性质决定。微观世界的物理性质由量子力学描述。

您学习过量子力学吗?如果没有,那正好,您来对了。可以在几分钟的时间内接受一下本文有关量子世界的科普教育。也可以说,进行一场头脑风暴的洗礼。如果您以前学习过量子力学,那您可以跳过本文,毕竟下面罗列的仅仅是量子力学课程中的常识。当然,您也不妨倒一杯咖啡,点一根香烟,重新温习一下以前学习的课程。就当放松一下心情。

量子力学认为,微观粒子具有波粒二象性,并且遵从海森堡测不准关系。即,粒子的位置和动量(或时间和能量)不能同时有确定值。所以,经典确定性的对质点状态的描述方式已不适用于描述微观粒子的状态。量子力学中通常是用一个时间和空间的复函数来描述微观系统状态的波函数ψ。ψ*是波函数ψ的复共轭函数。波函数是概率波,并具有归一性。在量子力学中可观察量A以算符的形式出现。代表对波函数的一种运算。波函数的本征值和本征态定义如下:定态薛定谔方程ψ=Aψ称为力学量A的本征方程。对应的A称为力学量的本征值,ψ称为力学量的本征态。

相干性是量子力学中波函数的另一个重要特性:两个叠加的波函数的相位差决定其概率的大小。波函数的态叠加原理可以描述如下:如果ψ1和ψ2分别是体系的两个本征态,对应的本征值分别为 A1 和A2 ,那么 ψ = C1ψ1 + C2ψ2 是体系一个可能的存在状态。如果在这个状态下对力学量A进行测量,测量到的A值既有可能是 A1 也有可能是 A2 ,相应的概率之比为| C1|2/| C2|2A 的平均值为wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_2010925162617341

在量子系统,满足薛定谔方程的波函数中通常存在一个动力学相(本文h上带一杠, 代表普朗克常数, 下同)。对于定态,ψ和ψ*中的动力学相因子相互抵消,故不对A 的平均值有贡献。玻恩对波函数物理意义的解释:波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度。在电子双缝干涉实验中观察到的干涉条纹。是大量事件所显示出来的一种概率分布。由于参与干涉的电子间存在动力学相因子的区别,从而可以形成干涉条纹。

好,有关量子力学的“低级”科普就到这里。下面请您回答一个问题:“您理解了量子力学吗?”如果您的答案是否定的,请您不要难为情,因为谁也不可能通过这么短的一篇博文来理解量子力学。而且,我再告诉您一个事实,可能会使您心情更塌实。当时在南京大学物理系学习量子力学时,大呆我就学得糊里糊涂的,也不知道量子力学的那些假定怎么来的,不理解为什么那一套“歪理斜说”会被大家公认为正确无误的真理的。所以只好囫囵吞枣地强行接受了。经过多年的学习(甚至“研究”),至今已经近30年过去了,我还是没有完全理解量子力学。如果您的回答是肯定的,恭喜您,答错了!记得有位著名科学家说过这样的话(大意):“如果谁声称他理解了量子力学,这正好证明他没有理解量子力学。”我们目前还不能理解量子力学的根本原因是,量子世界远比我们目前理解的更复杂,仍有许多未知事件需要我们进行探索,甚至其存在的基础都有一定的问题(详见量子力学和相对论之辩爱因斯坦对量子力学不完备性的质疑)。哈哈,当时我学不明白量子力学的原因不是因为我大呆笨(尽管大呆是真笨),而是因为它就是不应该被学明白:-(

有某位著名的人士说过,“量子力学中最不容易理解的不是波粒二象性,也不是测不准关系,也不是量子化, 而是波函数中的相因子”。要知道,小小的相因子会产生多大的效应,会影响到人们对量子力学的理解,以及它会如何对物理学的发展产生多么深刻的影响,可以发展出什么技术可以应用。且听下回分解。

二, Aharonov-Bohm效应

大呆改弦更张,开始回归科普。谈谈物理世界的相因子。但是物理世界的相因子-1-开篇反响一般般,读者推荐数创大呆开博以来最低:( 大呆见势不妙,乘诺贝尔的东风,赶诺贝尔的热闹,连续发表2010年诺贝尔物理奖(预测)揭晓 ,飞翔的青蛙—从搞笑诺贝尔奖到获得诺贝尔奖,收获了两朵小红花[在科学网小红花就等于诺贝尔花,人人都爱它]。点击也是大大地:)

闲话少说,言归正传。上一回说到,波函数中的相因子是量子力学中最不容易理解的东东。其关键因素就在于,量子力学用来描述微观系统状态的波函数ψ是一个时间和空间的复函数。波函数是概率波,波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度。这里,波函数ψ是复函数是问题的关键。满足薛定谔方程的波函数中通常存在一个动力学相。对于定态,波函数ψ和其复共轭函数ψ*中的动力学相因子相互抵消,不对物理观察量A 的平均值有贡献。也就是说,动力学相因子相乘等于1(本文h上带一杠)。无论动力学相因子是多大,对实际的物理观测没有什么贡献。

1959年Aharonov和Bohm的工作揭示了,量子世界远比人们理解的更复杂。在量子海洋看似平静的表面微小泡沫下面隐藏着更大的相因子旋涡。Aharonov-Bohm效应的发现,带来了一场深刻认识量子世界的暴风骤雨式的思想革命。可以说,量子力学理论框架在上世纪初基本被搭建完成,其它一些重要的进展也都在上世纪上半叶完成,Aharonov-Bohm效应是在五十年代末的一个重大进展,是上世纪下半叶为数不多的原始创新。

Aharonov-Bohm效应Aharonov和Bohm于1959年提出了一个挑战性具有深远物理内涵的观点。在电子双缝干涉实验中,加上一个(无限长)螺线管,其磁场指向纸外。根据Maxwell方程,不存在一个自由的局域磁单极的假定,在(无限长)螺线管外面的磁场为零(理论上如此,实际上可以对有限长螺线管可以做屏蔽确保外面的磁场为零)。

在螺线管开关关闭时,我们得到一个正常的电子双缝干涉条纹。大家知道,电子双缝干涉的原理就是:通过两条狭窄的缝隙的电子到达离缝隙一定距离的屏,电子经历的路径不同,从而其波函数有不同的相位。在屏上不同的位置两个电子波函数有不同的相位差,所以构成明暗相间的干涉条纹。

在螺线管开关打开后,由于电子路径上在不同区域存在不同方向的A场,除了动力学相因子外,还会出现一个附加的相因子,从而改变干涉条纹。在螺线管电流接通后,哈密顿量为:wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_2010925165163901。新的波函数为:wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_20109251652195001。这里通量S定义为:(这里积分为回路积分) ,为电子沿两个不同路径的经典作用量的量子类似物。他们设计了两个实验,确保在电子通过的路径上没有场,但是有随时间变化的势。通过不同路径的电子会产生一个相的差从而影响其干涉过程。

这个效应出乎常人意料的是,双缝干涉实验中电子经历的路径上的磁场为零。按常理,无法想象会双缝干涉条纹会有什么改变。这个发现揭示了在量子世界势比场更重要。表明在一个仅仅涉及局域相互作用的量子理论中,尽管没有场作用在带电粒子上,势也必需要看成是物理上有效的,势具有非局域性。通常进行一个规范变换可以导致在波函数上产生一个相因子。Aharonov-Bohm效应产生的相差是非单值的,其背景空间的拓扑学特征是多连通的。对于一个多连通流形,势可以有一个物理上可辨别的效应,因为规范因子对不同的同伦(homotopy)类有不同的值。作为规范不变性的要求,电子的能级有一个封闭磁通的周期。Aharonov-Bohm效应有两种不同的类型,一种是磁场势,一种是电场势。原理大同小异,证明也可以类推。

Aharonov-Bohm效应的意义有多重:

1,在波函数中,除了动力学相外(它的效应在定态通常不体现),还存在与电子路径上的势相关的相因子,并且通过不同路径的电子的相因子不同,从而可以改变电子双缝干涉实验的干涉条纹。

2,揭示了在量子世界势比场更重要,更基础。揭示了非局域性的重要性。

3,揭示了背景空间的拓扑学连通性会对物理性质产生根本性的影响。螺线管的存在改变了背景空间的拓扑学结构。从而将物理学与拓扑学紧密联系起来。

三, Berry相效应

Berry相效应:已知满足薛定谔方程wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_20101223102689421的波函数为|(t)>。在量子系统通常存在一个动力学相exp(iEt/h)。(本文h加杠) 在某个时刻,我们有本征值方程wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_20101223103151361。Berry发现,一个沿参数空间的回路C绝热变化的哈密顿量H(t) 的一个非简并量子态|(t)>,要求除了正常的动力学相wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_v6vxefeyidkn9sm409ghkgugxm4pub1外(它是t的普遍形式),还有一个与回路的几何相关的相。包括几何相关相的波函数|(t)>=exp[wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_xdwetwbik6j9g00ieqnitexrsdx8op1] exp()|n(R(t))>也满足上述薛定谔方程。这个满足薛定谔方程的波函数|(t)>在环绕C后产生的总相变化为|(T)>=exp()exp[wpid-19edd0274b41ef721f0d9df8066bf56f_g0mkfjzum3b2vewmrlkxz6kx32774o1] )|(0)>,其中几何相为=i|dR。即Berry相(这里的积分为回路积分, 科学网的公式编辑器实在是令人头痛)。

Berry实际上是发现, 薛定谔方程的解是不唯一的。在原来大家都知道的动力学相解之外, 或者说, 更深一层次, 还存在一个几何相的贡献。

Berry相是一种拓扑相效应,在量子和经典层次都有表现。在系统缓慢地沿一个回路运动时,除了有内部时钟记录时间的流逝产生动力学相之外,系统还用深层次的几何方式记录其历史,甚至是隐藏在系统从未访问过的参数空间区域的相函数。Simon解释,这个几何相可以被视为在一个适合于量子系统的弯曲空间的平行传递的结果,可以用和乐(holonomy)表示,相可以从Hermitain线丛的曲率(第一陈类)产生。这里的陈即著名数学家陈省身。

简单地解释一下与Berry相相关的平行传递: 打个比方,一个人带着一支箭在地球上赤道上A点向北极出发,箭头开始时指向正北。沿某个经线向北走,行走过程中一直保持箭头的指向在局域环境下不变。到达北极后再沿另外一个经线向南走,到达赤道上B点,然后在沿纬线向西走回到A点。这时候,箭头的指向与出发时的指向成一个角度,可以用这个角度来表示相位的变化(见图)。这个相位的变化与行走在球面上相关,所以,称之为几何相。

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实际上,Berry相的存在意味着,即使我们可以(违背相对论原理)乘坐时空隧道回到过去的自己,由于在时空中经历了这个返回的过程,也使我们无法变回过去的自己。即使我们站到了过去的某个时空点上,我已经不是过去的我了。

Berry同时证明了Aharonov-Bohm效应也是一个几何相。Berry相有几种更普遍的形式:1)Wilczek和Zee去除了非简并的限制将一个简并的流形的演变和相与一个非阿贝尔规范联系在一起。2)Berry以及Jackiw等人去除了绝热的限制,发展了一个演变的(非周期)态和相的渐近展开。3)Aharonov和Anandan将问题变成量子系统的自身的回路,而不是哈密顿量在参数空间的回路。这样,无论哈密顿量是否是循环的或绝热的,几何相仅依赖于系统自身的循环演变。这将几何相与无需绝热回路的Aharonov-Bohm效应联系在一起。实际上,在动量空间的Berry相效应是在坐标空间Aharonov-Bohm效应的关联。

Berry相效应与Aharonov-Bohm效应的关联还不仅仅在于此。另外一个关联就是,发现者的单位是同一所学校Bristol大学。英国的大学的自由探索的学术氛围,研究传统的坚持和传承,是值得我们研究和学习的。写科普文章总要写一些有趣的事情。不过难点也就在这个有趣上。本期博文就说点Berry的八卦:在去参加国际会议之前,大呆从网上下载了Berry一些资料,当然也包括他的照片。发现他的脸色红得很,有点不太正常。等到会议现场见到本人,也觉得有点红得不太正常。什么原因?大呆呆想了一阵,发现Berry有一个爱好,喜爱穿红衬衫。所以,常常印得满脸红光四射的样子。如若不信,有照片为证:-)

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四, Josephson效应

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我们人人都吃过三明治,两层面包片中间夹一层肉或蔬菜什么的。吃三明治不希奇,但如果说,一个人吃三明治吃出诺贝尔奖来,那就肯定十分地希奇了。1962年英国牛津大学做研究生B.D.约瑟夫森预言,做一个超导体/绝缘层/超导体的隧道结,如果绝缘层的厚度只有几十埃时,超导体电子对可以越过绝缘层形成电流,而隧道结两端没有电压,即绝缘层也成了超导体。很快,P.W.安德森和J.M.罗厄耳的实验观测证实了Josephson效应。约瑟夫森因为这个工作获得1973年诺贝尔奖物理奖。坊间传说,约瑟夫森就是受到三明治的启发,而做出这个重要的工作的。当然,这故事是不是属实已经无法考证了,就象我们已经无法考证当初牛顿发现万有引力是否是受到那个著名的苹果的启发。可以肯定地讲,提出Josephson效应不是吃吃三明治那么简单,当然需要坚实的物理理论和数学基础以及大胆的想象力和创造力。

根据量子力学理论,电子可以[象崂山道士一样]隧穿通过一定能垒,即所谓量子隧道效应。而Josephson效应也就是电子对通过两块超导金属间的薄绝缘层(厚度约为5-30埃)时发生的量子力学隧道效应,是一种新的隧道效应。这里,两块超导金属就相当于三明治的两层面包片,而中间的薄绝缘层就相当于三明治中间夹一层肉。电子是以电子对的形式隧穿通过能垒。目前,约瑟夫森效应和超导结电子学已经逐渐发展成为超导电性的研究领域的重要分支。而制备不同材料构成的隧道结以研究其中存在的量子效应已经成为物理学家和材料物理学家的家常便饭。谁再想靠吃吃三明治就得诺贝尔奖已经不太可能了。

Josephson效应包括直流约瑟夫森效应、交流约瑟夫森效应。超导隧道结能够承载直流超导电流的现象称为直流约瑟夫森效应。当直流电流通过超导隧道结时,只要电流值低于某一临界电流Ic,则与一块超导体相似,隧道结上不存在任何电压,即流过隧道结的是超导电流。但一旦超过临界电流值,隧道结上即出现一个有限的电压,结的性状过渡到正常电子的隧道特性。超导隧道结在直流电压作用下,产生超导交流电流,从而能辐射电磁波的特性,称为交流约瑟夫森效应。如果在超导结的结区两端加上一直流电压V,当电流大于临界电流时,在结区就出现高频的超导正弦波电流,其频率与所施加的直流电压成正比。这个频率与超导隧道结的结构和超导材料的性质、种类等因素无关,所以可用作为电压的基准。约瑟夫森效应作为一种宏观量子力学效应,可制作超导量子干涉器件。典型器件是直流超导量子干涉器件,常用来组成超导磁强计、磁梯度计、磁化率计等,具有很高的精确度。约瑟夫森器件还可作为微波和远红外线的探测器和混频器。

由BCS(巴丁(J.Bardeen)、库珀(L.V.Cooper)、施里弗(J.R.Schrieffer))的超导理论,在一块超导体中所有的库珀电子对因为具有长程有序从而具有相同的位相。可以想象,许多对男女青年在一个舞厅跳集体舞,步伐非常地整齐划一,随着悠扬的舞曲而旋转的角度都是一样的。如果约瑟夫森结的两块超导体中间的绝缘层较厚,则两块超导体中电子没有关联,从而各自具有独立的位相φ1和φ2。这种情况相当于,被一个厚墙分开的两个舞厅中跳集体舞的男女青年,均统一地按各自舞厅里舞曲的旋律起舞。由于厚墙很厚,两个舞厅之间没有任何联系或干扰,两个舞厅中舞伴旋转的角度也就不同。但是,当绝缘层减小到某一临界厚度后,两块超导体中的超导电子就以位相差 φ=φ12联系起来。这时,绝缘层就成为一个”弱”超导体,在两块超导体间存在弱关联,其相位既不相同,又不彼此独立。可以想象,当两个舞厅间的墙在逐渐减薄,一些在两个分开的舞厅间中跳集体舞的男女青年[象崂山道士一样]可以偷偷地穿过这个薄墙跑到另外一个舞厅里跳舞,在加入另外一个舞厅里跳舞的人群中时,势必会对其他舞伴的行动有所干扰。最后,两个舞厅里的舞伴的旋转角度取决于两者之间的关联,相互之间有一定的影响。并且,随着墙的厚度的减薄,两边的干扰越来越强。这种库珀对可通过这个”弱”超导体而出现超流隧道或电子对隧道效应。超导隧道电流密度Js与位相差的关系为,Js =Jc sinφ,式中Jc为临界电流密度,与两块超导体的性质和绝缘层的厚度以及所处的温度有关。位相φ受电压V或磁场H的调制,φ与V或H的关系为: 。一个舞厅里的舞伴穿越到另外一个舞厅里而影响其他舞伴的跳舞的行为显然是一种全局性的行为。

我们看到,在Josephson效应中又遇到了波函数中的相因子,在存在弱关联的两块超导体间的既不相同又不彼此独立的相位,导致的位相差与超导隧道电流密度密切相关。而这种位相差与超导和绝缘材料本身的性质以及隧道结紧密相连。而其更深层次的物理本质与非局域性、拓扑学连通性都有联系。从另外一个角度讲,Josephson效应与我们前面的博文中介绍的Aharonov-Bohm效应和Berry相效应在最基本的层次上有一定的关联和相通之处。也可以看出,量子力学的相因子效应几乎如影随形无处不在。

五, 量子霍尔效应

1879年E.H. 霍尔发现霍尔效应。当电流通过一个位于磁场中的导体的时候,磁场会对导体中的载流子产生一个垂直于电子运动方向上的作用力,从而在导体的两端产生电压差。在导体上外加与电流方向垂直的磁场,会使得导线中的载流子(带负电的电子与带正电的空穴)受到不同方向的洛伦兹力而使轨迹发生偏移而往不同方向上聚集,在材料两侧产生积累起来的电荷(电子与空穴)之间会产生垂直于电流方向的电场,最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡,从而在两侧建立起一个稳定的电势差即霍尔电压。简单地讲,霍尔效应就是,在x方向存在电流和z方向存在外磁场的情况,在y方向产生横向电流。正交电场和电流强度与磁场强度的乘积之比就是霍尔系数。平行电场和电流强度之比就是我们通常测量的电阻率。

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图1 霍尔效应测量图示

量子霍尔效应:是在极低温和强磁场下发生的霍尔效应。有N种量子霍尔效应。量子霍尔效应是在束缚于半导体-绝缘体或两个半导体界面间二维电子系统中极低温和强磁场下发现的。二维电子系统的垂直运动被高势垒束缚而量子化,沿垂直方向上加的外磁场又进一步使电子在平面内的运动量子化。在y方向的电流(电导)是量子化的,可以通过Laudau规范理论进行定量分析。在二维体系中,边缘出现的霍尔电导将是由块体拓扑保护的,通过Chern数或绕数分析可以得到以e2/h为单位的量子霍尔电导。最为人知的(或者说最早的)有两种:一种是整数量子霍尔效应,另一种是分数量子霍尔效应。整数量子霍尔效应最初在高磁场下的二维电子气中被观测到;分数量子霍尔效应通常在迁移率更高的二维电子气下才能被观测到

整数量子霍尔效应被马普所的德国物理学家冯·克利青(von Klitzing)等人发现,在极低温和强磁场下霍尔电导率出现量子化的平台。整数量子霍尔效应中观测到量子化电导e2/h,为弹道输运(ballistic transport)这一重要概念提供了实验支持他因此获得1985年诺贝尔物理学奖。在1980之前,所有在凝聚态体系的物质状态均可以用对称性破缺原理来描述。而量子霍尔效应是第一个不存在自发对称性破缺的量子态。其性质不取决于体系特定的几何,而是取决于它的拓扑。Laughlin提出一个整数量子霍尔效应的理论。参照超流的长程相位刚度,根据规范不变性,并考虑到朗道能级受无序的影响。电子绕Corbino盘圆周循环一次,通过其封闭轨道的磁通必然是量子化的。另外,为产生一个霍尔电流,在二维电子系统中量子霍尔效应普适性的关键因素是Aharonov-Bohm效应,这导致霍尔电导率作为从规范场向复波函数映射的拓扑不变量?绕数的结果。这时薛定谔方程将包含矢势,但可以选择规范变换消去矢势,波函数也有相应的变换。当一个电子围绕盘一圈时将改变波函数,增加一个相因子。波函数的单值性对相因子有一定要求,从而有整个的磁通量子化条件。(由于不太熟悉科学网的公式编辑,故删去相关公式)。

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图2 整数和分数量子霍尔效应

崔琦(Daniel Tsui)、施特默(Horst Stormer)和赫萨德(A. C. Gossard)发现分数量子霍尔效应,前两者因此与劳赫林(Robert Betts Laughlin)分享1998年诺贝尔物理学奖。在朗道能级填充因子为分数处霍尔电导率出现量子化的平台。分数量子霍尔效应通常在迁移率更高的二维电子气下才能被观测到,与电子的强关联密切相关。这时,电子已经凝聚到由高度关联产生的特殊稳定的新基态。Laughlin提出一种波函数来描述不可压缩量子液体中产生准电子和准空穴两类具有分数电荷的元激发。分数量子霍尔效应与超流态之间存在紧密的对应关系。具有分数电荷的准粒子需要任意子(anyon)分数统计规律。两次交换或n次交换任意子产生复数相因子,不存在拓扑上等价的零交换。这里出现的相因子又是与拓扑扭结密切相关的。Laughlin的工作揭示了涡旋(vortex)和准粒子(quasi-particle)在凝聚态物理学中的重要性。整数量子霍尔效应反映了单电子的行为,而分数量子霍尔效应是一种多体相互作用的行为。任意子在量子计算方面有广阔的应用前景。

2004年,英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫,成功地在实验中从石墨中分离出石墨烯(Graphene),在常温下观察到量子霍尔效应。在石墨烯中发现量子霍尔效应与一般的量子霍尔行为大不相同,没有零级平台,被称为反常量子霍尔效应(Anomalous Quantum Hall Effect)。石墨烯甚至在室温都有量子霍尔效应。他们也因此获得2010年度诺贝尔物理学奖。

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图3 石墨烯的电子能谱

参考文献:

冯端、金国钧,凝聚态物理学新论。上海科学技术出版社。