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有读者在上篇博文的评论中质疑,为什么总是以西方人的结果开始啊?好啦,向东挪挪,本篇博文的主角是个美籍华人,沾上了点儿‘华’字。他就是名噪一时的虎妈之爸:蔡少棠。

与现代科技有关的名词中,‘电’这个词汇大概是最为公众所熟悉的。完全可以毫不夸张地说,离开了电,很难想象当今的人类文明社会会成为个什么样子。蒸汽机和电,是人类社会进步中不可缺少的两大引擎。人类对‘电’的认识,伴随着人类社会的每一次进步。公元前600年左右,希腊哲学家达尔斯就发现了静电;几乎两千年之后,美国的著名政治家兼科学家富兰克林放风筝研究雷电的形成,这是妇孺皆知的故事。富兰克林是一位难得的懂科学的政治家,他起草独立宣言、签署美国宪法,对美国独立的功劳仅次于华盛顿。

如今,电已渗透到人类生活的各个方面,几乎无所不包,无所不用,电是人类文明的火花,给我们的生活带来无限光明。特别是近年来,电子、通讯、及计算机技术的突飞猛进,这个‘电’引爆的一系列火花将我们的生活点缀得五彩缤纷。

电子线路不但为我们创造了一个有声有色的文明社会,也为科学家工程师们提供了最便于研究和控制的物理系统。学界对很多混沌现象的研究,包括本书之前所叙述的大部分内容,都是基于一般人不喜欢听的‘非线性微分方程’之类的数学模型。就连电子工程师们,也不那么喜欢微分方程,尽管你磨破了嘴皮,告诉他们这些微分方程如何如何地演化到混沌行为,他们仍然想:百闻不如一见啊!既然混沌魔鬼无所不在,肯定在电路中也能找到它的踪影。当然,电子线路中也少不了方程,起码有基于著名的基尔霍夫定律的方程,这些方程看起来有些类似于洛伦茨系统的方程哦!那么,就有可能用我们所熟悉的、看得见摸得着的那些电路元件,造出一个我们能够随意控制的小玩意儿,将混沌魔鬼既能诞生其中,又被牢牢地关在里面。然后,哈哈,我们便只需站在旁边挥舞指挥棒,就能让魔鬼在小盒子中尽情地表演一番啦!

最擅长鼓捣电子线路的日本人就是这样想的。日本早稻田大学松本实验室的学者们相信,虽然洛伦茨系统中的那个貌似蝴蝶翅膀的古怪吸引子图形来源于气象科学,但电子线路应该能创造奇迹,达到异曲同工之妙。

不过,实验结果很令松本沮丧。他们的确搭建出了一个“洛仑兹”电路,又经过几年来的不断改进,线路越来越复杂,使用了几十个集成电路,能调节各个参数,理论上好像已经不断地靠近洛仑兹系统,可是不知道为什么,这混沌魔鬼就是不肯现身!

1983年十月,加州大学柏克莱分校的美籍华人教授蔡少棠访问松本实验室,才使松本的这个课题有了转机。云开日出,混沌电路诞生于世!

蔡少棠后来在一篇文章中1,对那一段历史有过生动的描述:

“我来到实验室的第一天,就目睹他们演示这个不断改进的,十分复杂的电路……”

松本实验室企图在电路中寻找混沌的想法也激起了蔡少棠的极大兴趣,蔡毕竟是预言了忆阻器存在的学术界大牛,也不愧为是二十几年后响当当的‘虎妈’之爸,他数学物理功底深厚,电路理论又玩得溜溜转,当天晚上临睡之前,他已经有了灵感和具体线路的构思,第二天一早,便胸有成竹地将此想法告诉了松本。松本迫不及待地在计算机上模拟这个电路,终于看到了他思念已久的魔鬼!

这个后来被人称之为蔡氏电路的第一个混沌电路,比松本实验室的设计简单多了,请见图(1)。

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图(1):蔡氏电路和混沌双涡卷吸引子

蔡氏电路是一个简单的振荡电路2,运动规律其实也多少雷同于上一章中所说的单摆。只不过单摆是人眼可见的机械运动,而蔡氏电路产生的是电振荡。好在机械振荡和电振荡对一般人都不陌生,人们在实用中经常将两者互相转换,比如当我们打电话时,便包括了无数次的电波与声波(机械波)的互相转换过程。

这样,我们不难理解,振荡电路应该和单摆一样,在一定的条件下,有可能产生混沌现象。

话虽这样说,松本实验室的振荡电路,为什么改进了好几年,即便‘众里寻他千百度’,却仍然不见混沌的踪影呢?

那天晚上,蔡少棠久久地注目洛伦茨吸引子图的两个颇似蝴蝶翅膀的怪圈,望着那些扑朔迷离、不停绕圈的轨道。这些轨道从一个圈中出发,有时似乎伸展欲飞,但后来却又因为非线性效应,而弯曲折叠到另一个圈中。每个圈都有一个中心点。那么,两个中心点,就意味着系统的两个平衡点……

想到这儿,蔡少棠突然意识到,如果振荡电路中只有一个平衡点,可能不容易观察到混沌。如果利用非线性元件,给线路提供两个不稳定的平衡点,也许它们就能互相推动和制约,使得电流产生伸展和折叠的效应。这样,就更像洛仑兹系统,更有可能引发混沌行为了。

思路清晰了,再从最简单的振荡电路开始考虑。蔡少棠认为,为了产生混沌,振荡电路至少需满足以下条件:

(a)非线性元件不少于1个;

(b)线性有效电阻不少于1个;

(c)储能元件不少于3个。

规定了上面的条件就好办了,那我们就来搭建一个最简单的混沌电路吧。蔡少棠稍作计算,在一个旧信封和几张餐巾纸上画来画去,便画出了符合以上标准的最简单电路,也就是图(1a)所示的,之后广为所知的世界上第一个混沌电路——‘蔡氏电路’。看来,由电路产生混沌,并不需要像松本实验室的研究人员那样,画蛇添足地用上几十个集成电路啊。

不过,要从这个简单电路,观察到洛伦茨的‘蝴蝶翅膀’吸引子,仍然并非易事。关键的问题是要巧妙地选择电路中唯一的那个非线性元件的非线性特性。而这个元件需要具有什么样的非线性,才能使这个振荡电路产生两个平衡点呢?

我们经常提到‘线性’和‘非线性’,简单地说,它们是相对于某种输入输出关系而言的。对电路中的元件来说,就是指流过元件的电流,与其两端电压之间的关系。如果这关系能用一条直线表示,则是线性元件,否则便是非线性元件。

既然线性关系可用一段直线表示,非线性的特点便是相对于直线有所偏离。例如,可以用两段斜率不同的线段接起来表示最简单的非线性特征。在蔡氏电路中,如我们在图(1b)中所看到的,则用了三截线段连接起来,表示这个被称为‘蔡氏二极管’的非线性元件。为什么要用三段直线段呢?因为如此得到的振荡线路,将会具有三个平衡点,当我们调节线路的参数,即线性电阻R的数值时,可以使得三个平衡点中的两个变成不稳定的平衡点,从而最后观察到如洛伦茨吸引子那样的混沌现象。

振荡电路产生的混沌,易于控制和优化,因而也便于应用。在蔡氏电路中,如果不断地改变电阻R的数值,可以得到各种有趣的周期相图和吸引子,可观察到倍周期分岔,、单涡卷、双涡卷(图1c)、周期3、周期5、等十分丰富的混沌现象。加上后来又出现了五花八门、形形色色的变化改进了的蔡氏电路,为混沌的研究和应用开辟出一片广阔的新天地。

参考资料:

【1】L.O.Chua:ThegenesisofChua’scircuit,ArchivElektronicUbertransgungstechnik,46,4,pp.250-257(1992).

【2】Chua’sCircuit:AParadigmforChaos,editedbyR.N.Madan,WorldScientific,1993.

作者:张天蓉